"Золотий переріз"
Тема уроку: « Золотий переріз»
Зміст
«Золотий переріз» , «золотий трикутник» , « золотий прямокутник » , «золота спіраль ». Числове значення золотого відношення . Ділення відрізка у золотому відношенні.
мета вивчення
- Розширити кругозір учнів , сприяти розвитку пізнавального інтересу .
-Показати школярам загально - інтелектуальне значення математики .
- Сприяти пізнання законів краси і гармонії навколишнього світу.
план уроку
- Вступне слово вчителя.
- «Золотий перетин» в математиці : постановка завдання , аналітичне та геометричне рішення пропорції
- Ряд Фібоначчі .
- «Золотий перетин» в природі , техніці , мистецтві ( повідомлення учнів ) .
- Практична робота
- Підведення підсумку уроку .
- Домашнє завдання .
епіграф уроку
«... Геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора і золотим перетином , і якщо перше з них можна порівняти з мірою золота , то друге - з коштовним каменем ... ».
Йоганн Кеплер
хід уроку
Вступне слово вчителя.
Навколишній світ різноманітний ...
Ви, напевно , звертали увагу , що ми неоднаково ставимося до предметів і явищ навколишньої дійсності. Безладність , безформність , неспівмірність сприймаються нами як потворне і виробляють відразливе враження . А предмети та явища , яким властива міра , доцільність і гармонія сприймаються як гарне й викликають у нас почуття захоплення , радості , піднімають настрій.
Людей з давніх часів хвилювало питання , чи підкоряються такі речі, як краса і гармонія , яким-небудь математичним розрахункам. Чи можна « перевірити алгеброю гармонію». Звичайно , всі закони краси неможливо вмістити в кілька формул , але , вивчаючи математику , ми можемо відкрити деякі складові прекрасного.
Сьогодні на уроці я познайомлю вас з одним з таких математичних співвідношень , там , де воно присутнє , відчувається гармонія і краса.
Тема сьогоднішнього уроку « Золотий переріз і гармонія форм природи і мистецтва».
Відкрийте зошити , запишіть число ... і тему уроку ...
Епіграфом уроку будуть слова німецького астронома і математика Йоганна Кеплера : «... Геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора і золотим перетином , і якщо перше з них можна порівняти з мірою золота , то друге - з коштовним каменем ... ».
Теорему Піфагора знають багато людей , а от що таке « золотий переріз» - далеко не все. Сьогодні на уроці я познайомлю вас з цим поняттям , навчу ділити відрізок у золотому відношенні, побачимо , де воно зустрічається в природі , як використовується в техніці і творах мистецтва.
Що ж таке золотий переріз ?
Його можна розділити точкою С на дві частини нескінченним безліччю способів , але кажуть що точка С виробляє золотий перетин відрізка АВ , якщо виконується пропорція : довжина меншого відрізка так відноситься до довжини більшого , як більший відрізок відноситься до довжини всього відрізка , тобто
=
Термін золотий переріз ввів в XVI столітті великий художник , вчений і винахідник Леонардо да Вінчі. В історії утвердилися три варіанти назви: золотий переріз , золота пропорція і третє - поділ відрізка в середньому і крайньому відносинах . Крім того , золотий переріз нагороджували епітетами « божественне » , «чудесне » , тому де воно присутнє , викликає у нас відчуття краси та гармонії. Про це поговоримо трохи пізніше.
Щоб і ви змогли побачити золотий перетин у природі , у творах мистецтва , я навчу вас зараз ділити відрізок в середньому і крайньому відносинах , тобто ділити відрізок у золотому відношенні.
«Золотий переріз » в математиці : постановка завдання , аналітичне та геометричне рішення пропорції.
Доведення.
Розподіл відрізка в золотому відношенні - це дуже давня завдання. Вона присутня в «Засадах» Евкліда, який вирішив її іншим способом.
Золотий перетин записується за допомогою пропорції. Пропорція - це рівність двох відносин. Вам, я думаю, цікаво дізнатися чисельне значення цих відносин. Зараз ми його знайдемо.
Для зручності довжину відрізка АВ позначимо за а, а довжину відрізка АС - за х, то довжина відрізка СВ буде - а-х
(Відношення довжини меншого відрізка а - х до довжини більшого відрізка х дорівнює відношенню більшого відрізка х до довжини всього відрізка а).
Так як відношення складової пропорцію рівні, то знайдемо чисельне значення, наприклад, відношення
За властивістю пропорції: добуток середніх членів дорівнює добутку крайніх членів. Рівність (2) перепишеться у вигляді:
Треба розкрити дужки і всі доданки перенести в ліву частину:
Розв’язувати квадратне рівняння відносно х буде_______
ТРЕБА ЗНАЙТИ ВІДНОШЕННЯ
ОСКІЛЬКИ Х1<0, ТО Н.У.З., а х2>0. То
Щоб ви краще представили це число, обчисліть значення цього виразу за допомогою мікрокалькулятора з точністю до сотих.
Отже, відношення довжини меншого відрізка до довжини більшого відрізка й відношення більшого до довжини всього відрізка одно 0,62. Таке відношення і буде золотим
ряд Фібоначчі
З історією золотого перетину непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 г вийшов у світ його математична праця «Книга про абаці» (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань проголошувала «Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі
1 | 4 | 7 | 10 | и т.д. |
1 | 3 | 13 | 55 | и т.д. |
вибудував такий ряд цифр:
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу.
«Золотий переріз» в природі, техніці, мистецтві »
Побудова правильного п’ятикутника
Чудовий приклад «золотого перерізу» являє собою пентаграма - правильний п'ятикутник . Зірка- вона відома , впізнаваєма і улюблена нами з дитинства . Форму п'ятикутної зірки мають багато квіти , морські зірки і їжаки , віруси і т. д. Людське тіло також можна розглядати як п'ятипроменеву фігуру , де променями служать голова, руки і ноги.
Перші згадки про пентаграму відносяться до Стародавньої Греції. У перекладі з Грецького пентаграма означає дослівно п'ять ліній ( leuta - п'ять , gramma - риса , лінія). У еллінському світі наука і мистецтво розвивалися в так званих філософських школах.
Однією з найвідоміших серед них була школа Піфагора , а відмінним знаком її членів була пентаграма . Піфагорійці відрізнялися винятковою вірністю своєму братству . Збереглася легенда , згідно з якою один з піфагорійців , тяжко захворівши на чужині, і залишившись без засобів існування, попросив господаря будинку , залишити його , намалювавши на воротах пентаграму . Коли повз будинку проходив інший піфагорієць, і на воротах він побачив пентаграму він щедро розплатився з господарем.
Звичайно , піфагорійці не випадково вибрали пентаграму . Вони вважали , що цей красивий багатокутник має багато містичних властивосей. Саме пентаграма була символом життя і здоров'я , їй присвоювалась здатність захищати людину від злих духів.
Чим же цікавий цей символ з точки зору математики ?
Пентаграма представляє собою вмістилище золотих пропорцій ! З подоби трикутників ACD і ABE можна вивести відому пропорцію
Цікаво, що всередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і золоті відносини будуть зберігатися.
Побудова правильного п'ятикутника і пентаграми
Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п'ятикутник . Спосіб його побудови розробив німецький живописець і графік Альбрехт Дюрер ( 1471 ... 1528). Нехай O - центр кола , A - точка на колі і Е - середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА , проведенний в точці О , перетинається з колом в точці D. Користуючись циркулем , відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED . Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC і отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника . З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями і отримуємо пентаграму . Всі діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки , пов'язані між собою золотою пропорцією .
Принципи формоутворення в природі
Все, що набувало якусь форму , утворювалося , росло , прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе . Це прагнення знаходить здійснення в основному в двох варіантах - зростання вгору або розстеляння по поверхні землі і закручування по спіралі.
Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути , то виходить довжина , трохи поступається довжині змії. Невелика десяти сантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Подання про золотий переріз буде неповним , якщо не сказати про спіралі.
спіраль Архімеда
Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль , накреслені по цьому рівнянню , називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.
Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності . Гвинтоподібне і спиралевидне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику , в шишках сосни , ананасах , кактуси і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи . З'ясувалося , що в розташуванні листя на гілці ( філотаксіс ) , насіння соняшнику , шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі , а оджеи , проявляє у себе закон золотого перерізу . Павук плете павутину, використовуючи принцип спіралі. Спіраллю закручується ураган . Перелякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. молекула ДНК має форму закрученої подвійної спіралі. Гете називав спіраль- «кривою життя».
Серед трав, які ростуть у дорозі є нічим не примітна рослина - цикорій. Придивімося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок
Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції.
У ящірці з першого погляду уловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38.
ПАРФЕНОН
Парфенон - це одне з найкрасивіших творів давньогрецької архітектури. Він і зараз , незважаючи на те , що з часу його споруди пройшло більше 2,5 тисячоліть , справляє величезне враження . Колись білосніжний мармур став від часу золотисто - рожевим. Велична будівля , що стоїть на пагорбі з вапняку , підноситься над Афінами і їх околицями . Але вражає воно не своїми розмірами , а гармонійним досконалістю пропорцій . Будівля не вдавлюється своєю вагою в землю , а як би парить над нею , здається дуже легкою. Багато мистецтвознавців прагнули розкрити секрет того могутнього емоційного впливу , яке це будівля робить на глядача. Розгадку вони побачили в тому , що в співвідношеннях багатьох частин храму присутній золота пропорція .
Треба сказати , що в епоху Відродження золотий переріз був дуже популярним серед художників , скульпторів і архітекторів. Монах Лука Пачолі написав цілу книгу «Божественна пропорція ». Леонардо да Вінчі , що знає про вплив золотої пропорції на людину , виконав до цієї книги ілюстрації.
Скульптори, архітектори , художники використовували і використовують золотий переріз у своїх творах , так як пропорції золотого перерізу створюють враження гармонії і краси.
Я хочу ще доповнити виступи доповідачів про золотий переріз . Поки ми говорили тільки про його естетичному значенні , але існують приклади практичного застосування. У гідротехніці по золотій спіралі згинають трубу , що підводить потік води до лопат турбіни. Завдяки цьому напір води використовується з найбільшою продуктивністю
Практична робота:
У 1855 р. німецький дослідник золотого перерізу професор Цейзінг опублікував свою працю « Естетичні дослідження». Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку , що пропорції золотого перерізу проявляються в відношенні частин тіла людини - довжина плеча , передпліччя і кисті , кисті і пальців і т.д. Ділення тіла точкою пупа - найважливіший показник золотого перетину .
Результати вимірювань учнів 11 класу
Учням 11 класу було запропоновану роботу, вони повинні були провести вимірювання висоти і довжину від пупа до ніг , результати заносимо у таблицю .
Висновок: пропорції тіла хлопчиків ближче до показника золотого перерізу , ніж у дівчаток , що підтверджує теорію Цейзинга .
Підсумки уроку:
Отже:
урок сподобався?
Що запам'яталося найбільше?
Я , думаю , що ви запам'ятали , де використовується золотий перетин в мистецтві , і як результат , зможете побачити золоту пропорцію в оточуючих нас предметах .
Домашнє завдання .
Дякуємо за урок.